Qhiibtya nimah: Laporan praktikum matematika dasar (LIMIT)

LIMIT

LAPORAN PRAKTIKUM

Oleh

Khiptiatun Ni’mah

141810201026

LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JEMBER

2014

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bagi sebagian besar orang khususnya para mahasiswa tentunya sudah tidak asing lagi saat mendengar istilah limit fungsi. Akan tetapi, kita perlu mengasah lebih dalam lagi mengenai rumus-rumus maupun pengertian dari limit. Limit tidak hanya bisa dihitung secara manual saja. Tentunya limit fungsi juga dapat diaplikasikan menggunakan matlab. Agar kita dapat mengenal lebih dalam lagi mengenai limit fungsi khususnya limit fungsi yang diaplikasikan menggunakan matlab, untuk itu kita perlu mempelajarinya dengan seksama.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa pengertian limit fungsi?

2. Apa saja sifat-sifat limit?

3. Apa nilai limit?

1.3 Tujuan

1. Untuk mengetahui pengertian limit fungsi.

2. Untuk mengetahui sifat-sifat limit.

3. Untuk mengetahui nilai limit.

1.4 Manfaat

1.Agar kita mengetahui pengertian limit fungsi.

2.Agar kita mengetahui sifat-sifat limit.

3. Agar kita mengetahui nilai limit.

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

Salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu biasa dinamakan dengan istilah limit. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Bila c di dalam selang terbuka S=(a,b) dan diketahui bahwa fungsi f terdefinisikan dalam S kecuali mungkin di c, maka L disebut limit f(x) untuk x mendekati c. Bila dan hanya bila untuk sembarang bilangan positif kecil ɛ selalu dapat ditemukan bilanga ɗ > 0 sehingga untuk 0 <│c-x│< ɗ berlaku │f(x)-L│< ɛ. Dengan bahasa sehari-hari dapat dikatakan L adalah limit f(x) untuk x mendekati c bila dan hanya bila f(x) dapat dibuat cukup dekat dengan L dengan cara memilih x cukup dekat dengan c.

Berikut ini beberapa sifat-sifat dari limit :

Dari sifat-sifat limit diatas, ada beberapa catatan penting yang perlu diperhatikan :

1. Sifat-sifat diatas juga berlaku jika x→c diganti dengan x→ ± ∞.

2. Sifat 1 dan 2 dapat diperluas untuk jumlahan atau hasil ganda n fungsi dengan n berhingga.

3. Dari perluasan 2 diperoleh

= Fⁿ (n berhingga).

Ada beberapa nilai-nilai dari suatu limit :

1. Limit Kiri dan Limit Kanan

Kadang-kadang f tidak terdefinisikan untuk x > c, sehingga x → c dengan x > c tidak ada nilai fungsinya, maka diperlukan pengertian limit satu arah (limit sepihak).

2. Besar Tak Hingga

Jika x dapat diberikan nilai yang lebih besar daripada sembarang bilangan positif manapun, maka dikatakan “x menjadi besar tak hingga” dan ditulis x → + ∞ (“x mendekati + ∞” atau “x bertambah tak terbatas”). Sebaliknya jika x dapat dibuat lebih kecil daripada sembarang bilangan negatif manapun, maka dikatakan “x mendekati - ∞” (“x berkurang tak terbatas”). Jadi ± ∞ bukanlah suatu lambang bilangan.

Suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu titik a. Hal tersebut dituliskan suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati satu nilai tertentu c, ditulis dengan notasi = L memiliki arti “untuk setiap xyang cukup dekat dengan a tetapi x tidak sama dengan a, nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L”. Nilai limit fungsi tersebut adalah harga yang didekati fungsi jika variable fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses pendekatan ini bisa dari kiri (disebut limit kiri) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan). Suatu fungsi akan dikatakan memiliki limit apabila limit kiri dan limit kanannya sama

(Heri, 2005).

Limit memiliki teorema sendiri. Teorema limit yakni :

1. Limit suatu fungsi konstanta nilainya sama dengan konstanta itu.

2. Limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya

3. Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi. 4. Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi.

5. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu.

6.Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.

7.Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan catatan limit penyebut tak boleh sama dengan nol.

8. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.

9. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu (Widyanto, 2009).

BAB III. METODOLOGI

3.1 Alat Dan Bahan

3.1.1 Alat

· Computer

· Buku

· Bolpoin

· Kalkulator

3.1.2 Bahan

· Matlab

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil

* Penulisan fungsi limit kiri dan kanan pada matlab

*Mencari nilai limit dari suatu fungsi

*Format penulisan limit fungsi matlab yang di aplikasikan pada fungsi tangga dan nilai mutlak

*Penulisan limit dalam matlab untuk menguji kekontinuan suatu fungsi

4.2 Pembahasan

Limit fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Dalam praktikum kali ini, yang menjadi pembahasan adalah tentang pengerjaan soal-soal limit fungsi menggunakan MATLAB. Misal kita ingin menghitung lim_x→3 3x²-1 maka langkah yang harus dilakukan adalah ketik limit(3^2-1,x,3) lalu enter, maka akan muncul hasilnya. Proses perhitungan dilakukan di command window. Penulisan perhitungan tersebut mengikuti aturan limit(f(x),x,a). Perlu diingat bahwa sebelum menuliskan suatu fungsi, variabel fungsi tersebut harus didefinisikan terlebih dahulu, dengan cara ketik x=sym(‘x’); jika variabel yang digunakan dalam fungsi adalah x.

Jika ingin menghitung limit kiri dan limit kanan, ada aturan penulisan yang dipakai. Yakni, limit(f(x),x,a,’right’) berlaku untuk lim_x→a+f(x). Dan limit (f(x),x,a,’left’) berlaku untuk lim_x→a-f(x). Misal ingin dicari nilai lim_x→3+ x²+2x, maka langkah yang harus dilakukan adalah kita harus mengetik limit(x²+2x,x,3,’right’) lalu tekan enter, Maka akan muncul hasilnya. Proses ini dilakukan di command window. Contoh lain, jika kita ingin menghitung nilai dari lim_x→4-2x²-1 maka langkah yang harus dilakukan adalah ketik limit(2x^2-1,x,4,’left’) lalu enter.

Uji kekontinuan suatu fungsi juga bisa dilakukan, yakni dengan cara kita harus menuliskan fungsi yang ingin diuji kekontinuannya. Tetapi sebelum itu, kita harus mendefinisikan variabel yang digunakan dalam fungsi tersebut terlebih dahulu. Misal kita ingin melihat fungsi f(n) n²-3n+1 kontinu atau tidak di titik 1. Maka langkah-langkah yang harus dilakukan adalah ketik n=sym(‘n’); terlebih dahulu. Lalu kita buat fungsinya f=@(n)(n^2-3*n+1); setelah itu cari nilai limitnya dengan mengetik limit(f(n),n,1) lalu enter. Kemudian cari juga f(1) nya, jika hasil dari nilai limit fungsinya sama dengan nilai dari f(1) maka fungsi tersebut kontinu di titik 1.

Berikut ini akan dibahas beberapa format penulisan limit yang diaplikasikan pada matlab :

1. limit (f(x),x,a) →

2. limit (f(x),a) →

3. limit (f(x)) →

Pada limit juga dikenal limit kanan dan limit kiri. Kadang-kadang f tidak terdefinisikan untuk x > c, sehingga x → c dengan x > c tidak ada nilai fungsinya, maka diperlukan pengertian limit satu arah (limit sepihak).

Bila f terdefinisikan dalam selang S = (a,b) dan diberikan c dengan a<c≤b, maka L disebut limit kiri f(x) untuk x mendekati c.

Bila f terdefinisikan dalam selang S = (a,b) dan diberikan c dengan a≤c<b, maka L disebut limit kanan f(x) untuk x mendekati c.

Berikut ini adalah format penulisan limit kiri dan limit kanan yang diaplikasikan pada matlab :

1. limit (f(x),x,a,’right’) →

2. limit (f(x),x,a,’left’) →

Limit fungsi memiliki beberapa sifat-sifat penting yang harus dipelajari. Sifat-sifat limit fungsi melekat erat sehingga tidak dapat dipisahkan satu sama lain. Saat mempelajari limit fungsi, wajib pula untuk mempelajari sifat-sifatnya. Berikut ini adalah sifat-sifat limit fungsi :

ⁿ =

ⁿ

Suatu limit fungsi dapat dikatakan kontinu jika lim = f(x). Kekontinuan fungsi dititik a :

1. f(x) ada

→

ada

Jika salah satu saja dilanggar fungsi sudah tidak kontinuu di x = a. jika f kontinu disemua titik dalam selang S maka dikatakan bahwa f kontinu dalam selang S. Beberapa contoh :